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Depreciação: A experiência tem demonstrado que os elementos integrantes do ativo de uma empresa sofrem permanentemente uma depreciação, isto é, uma perda de valor, devido às causas mais diversas. Exemplos de depreciação são vários como: hoje ao comprar um veículo, pagamos um determinado preço e ao passar do tempo este por sua vez, vai perdendo seu valor, ou seja, ocorre o que chamamos de depreciação, que se da não só pela ação do tempo, e do desgaste, mas até mesmo pelo surgimento de novos instrumentos com maior tecnologia. É uma ferramenta de grande importância para o controle patrimonial de uma empresa, sendo que com ela, podemos prever, dentro das possibilidades que oferece a experiência do passado, a quanto monta periodicamente o valor dessa depreciação, de modo que aquele ônus se distribua uniformemente sobre o custo da produção. Este é o objetivo do estudo matemático da depreciação, encontrar e distribuir estas quotas ao decorrer do tempo.

Observamos de início que esse estudo é firmado sobre dados de previsão, baseados nos resultados de observações estatísticas. Daí ser conveniente utiliza-lo sempre com moderação, pois são muitas as causas fortuitas que podem alterar profundamente as estimativas mais prudentes, como por exemplo, as grandes oscilações de preços no mercado devido a um fenômeno de deflação ou inflação, e por que não citarmos aqui a globalização em que vivemos hoje? Claro que ela influi de forma intensiva em todo mercado financeiro e por sua vez também, na depreciação de bens de uma empresa. Vejamos a seguir os métodos para o cálculo de depreciação.

DEPRECIAÇÃO FINANCEIRA: A diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual) no fim de certo tempo chama-se depreciação. Esta desvalorização ocorre, devido, principalmente ao desgaste e ao envelhecimento.
Por exemplo, ao comprar uma máquina por 2.000,00 u.m. (unidades monetárias) e, após 10 anos revender por 500,00 u.m., teve uma depreciação de 1.500,00 u.m.
No exemplo acima podemos ver que foi citado um tempo para que houvesse essa depreciação, o que implica dizer que, um dos fatores o qual a depreciação está diretamente relacionada é o tempo, ou seja, quanto maior o tempo de uso de um determinado bem, maior será sua depreciação.
Essa depreciação não se faz de forma aleatória. Claro que existe uma legislação que rege sobre ela, dirigindo assim taxas (i), tempo (n), etc. A legislação Brasileira estabelece limites mínimos para o cálculo do tempo de depreciação dos bens do ativo das empresas. A tabela a seguir apresenta alguns bens e as respectivas vidas úteis e taxas anuais de depreciação admitidas pela legislação.

MÉTODOS PARA CALCULO DA DEPRECIAÇÃO: Seja C o custo de um ativo, cuja vida é estimada em n anos. Admitamos que, no decorrer desse prazo, seu valor residual seja R. Isto significa que esse ativo sofre em n anos a depreciação C-R. O problema matemático sobre depreciação consiste, então, em calcular uma quota periódica, constante ou variável, que permita, no fim daquele prazo, formar a soma C-R, partida com a depreciação do ativo. A separação periódica dessas quotas constituirá um fundo crescente, cujo valor no fim de n anos será igual à depreciação C-R.
Admitamos que, pelo menos teoricamente, esse fundo crescente corresponda, no fim de cada período, à depreciação total do ativo nessa data. Então, no fim de cada período, a diferença entre o custo do ativo e o fundo acumulado representa o valor do ativo. Assim sendo, o valor desse ativo é uma grandeza decrescente cujo valor inicial é o custo do ativo e cujo valor, no fim do prazo estimado, é o valor residual do ativo.

MÉTODO LINEAR: Por ser o mais simples, é o mais utilizado. Consiste em dividir o total a depreciar pelo número de anos de vida útil do bem. Desse modo a quota anual para a constituição do fundo é constante e igual a:

Q = C – R
n

Onde: Q = Quota anual de depreciação
C = Custo do Ativo
R = Valor residual
n = Tempo (anos)

Quanto a esse método, há as seguintes objeções: Mesmo que a quota, destinada a constituir o fundo, seja conservada na empresa, deve ser considerada como nela invertida. Portanto, deve-se atribuir certo juro. Em geral a depreciação de um ativo não é função linear do tempo, sendo mais acentuada no princípio do que nos últimos anos de vida estimada, do que resulta ser o valor dos ativos, calculado por esse método, muito diferente da realidade. Como, em geral, à medida que se acentua o uso de uma máquina, tornam-se mais freqüentes os reparos e maiores os gastos de conservação, são convenientes formar o fundo de depreciação por uma quota decrescente, de modo que sejam menos onerados por esse fundo os períodos em que se tornem maiores aqueles gastos, a fim de se conseguir mais uniformidade no custo de produção.

Vejamos um exemplo de aplicação desse método.
Exemplo 1 - Estima-se em oito anos a duração de uma máquina cujo custo é de 20.000,00 u.m., e em 2.000,00 u.m. seu valor residual no fim prazo citado. Calcular, pelo método linear, a quota anual para o fundo de depreciação e a variação desse fundo no prazo estipulado.

RESOLUÇÃO:
DADOS: C = 20.000,00 – Valor de Custo do Ativo
R = 2.000,00 – Valor Residual
n = 8 – Tempo
A quota anual, de acordo com o método linear será:

Q = 20.000,00 – 2.000,00 = 2.250,00 u.m.
8

A quota anual (Q) representa o valor da depreciação anual da máquina, ou seja, a cada ano este bem irá sofrer uma depreciação de 2.250,00 u.m. Contudo, temos o plano de depreciação, que é um quadro que apresenta, no fim de cada exercício, a quota de depreciação reservada, o valor do fundo de provisão para depreciação e o valor atual do bem. Para o exemplo acima, temos o seguinte plano de depreciação.


MÉTODO DA UNIDADE DE TRABALHO OU DE PRODUÇÃO: Neste método, a depreciação periódica é avaliada à base do trabalho executado, ou pela produção obtida. Assim por exemplo, se a depreciação total de um aparelho de refrigeração é de 20.000,00 u.m. e seu funcionamento regular é estimado em 100.000 horas, sua depreciação é avaliada à base do cálculo 20.000,00 u.m, ou 100.000 hs, seja, 20 pontos por hora de trabalho. Quanto à unidade de produção, se faz da mesma forma, sendo que, por exemplo, uma máquina que custou 20.000,00 u.m. e tem uma capacidade de produção de 1.000.000 peças, sua depreciação é avaliada à base de 0,02 pontos por peça produzida. A principal objeção a esse método, é que um equipamento deprecia-se mesmo que não esteja funcionando, o que neste caso não estamos considerando. Daí não tem a total eficácia deste modo de cálculo de depreciação.

MÉTODO DA TAXA CONSTANTE: Este método consiste em estabelecer uma taxa constante de depreciação, a qual é calculada sobre o valor do bem no fim de cada exercício. A depreciação em cada ano é uma percentagem constante do valor do ativo, no nosso exemplo já citado no caso, a máquina, no início do mesmo ano. Seja i essa taxa de percentagem. No fim do primeiro ano a depreciação é Ci e, portanto, o valor da máquina C – Ci ou C (1-i).

No final do segundo ano a depreciação é Ci (1-i) e, portanto, o valor da máquina é:
C (1-i) – Ci (1-i) = C (1-i) = C (1-i)2

No final do terceiro ano a depreciação é Ci (1-i)2 e o valor da máquina é:
C (1-i)2 – Ci (1-i)2 = C (1-i)2 (1-i) = C (1-i)3

Prosseguindo, analogamente, demonstraríamos que o valor da máquina no fim do enésimo ano é C (1-i)n . Como ele é igual ao valor, residual R, podemos citar:
C (1-i)n = R
Donde resulta:
___
i = 1 - n R
C

Esta é a fórmula que permite calcular a taxa percentual de depreciação, quando conhecidos o custo, valor residual e o prazo.

Vamos agora aplicar este método na prática. Utilizaremos dados do Exemplo 1, para facilitar o raciocínio.
Exemplo 2 – Calcular a taxa percentual de depreciação (i) da máquina. Utilizando os dados do Exemplo 1.

RESOLUÇÃO:
DADOS: C = 20.000,00 – Valor de Custo do Ativo
R = 2.000,00 – Valor Residual
n = 8 – Tempo
i = ? – Taxa percentual de depreciação
___
i = 1 - n R
C
_______
i = 1 – 8  2.0002
20.000
____
i = 1 – 8  0,1 = 0,250106  i = 25,01% a.a.
A taxa percentual de depreciação é, pois, 25,01%. No fim do primeiro ano a depreciação é de:
25,01% de 20.000 u.m. = 5.002 u.m.
e o valor da máquina será de:
20.000,00 – 5.002,00 = 14.998,00 u.m.

No final do segundo ano, a depreciação é de:
25,01% de 14.998,00 = 3.751,00 u.m.
e o valor da máquina será de:
14.998,00 – 3.751,00 = 11.247,00

Considerações para a formação do plano de depreciação:

1º Passo. Com a taxa i = 25,01%, calculamos a quota de depreciação Q referente ao primeiro período que é feito da seguinte forma: tira-se a taxa i do valor atual anterior, que no primeiro caso é o próprio valor total do ativo.

2º Passo. Calculamos o fundo de depreciação referente ao primeiro período sendo ele a soma de todos as quotas de depreciação Q anteriores. No primeiro período, como não há quotas anteriores, o fundo de depreciação será igual á própria quota de depreciação.

3º Passo. Calculamos agora o valor atual, que é dado: subtrai-se o fundo de depreciação respectivo do valor atual anterior.

4º Passo. Segue-se realizando os cálculos citados acima por sua ordem nos períodos seguintes até que se chegue ao final do último período.

MÉTODO DAS TAXAS VARIÁVEIS: É um método muito parecido ao anterior, porém, a taxa não é única. Elas se estabelecem em progressão aritmética (P.A.) em ordem crescente ou decrescente, sendo que a soma dessas taxas será obrigatoriamente igual a 100%. Como essas taxas são estabelecidas em progressão aritmética crescente ou decrescente, é dada a fórmula para que se encontre a razão entre essas taxas:

Razão da P.A. = Taxa média x 2
n

Onde a taxa média é dado pela fórmula:
Taxa Média = 100%
n

Vejamos no exemplo a seguir a aplicação desse método.

Exemplo 3 – Utilizar dados dos exemplos anteriores.
DADOS: C = 20.000,00 – Valor de Custo do Ativo
R = 2.000,00 – Valor Residual
n = 8 – Tempo
i = ? – Taxa percentual de depreciação variável
RESOLUÇÃO:
Taxa média = 100%  Taxa média = 100%  Taxa média = 12,5%
n 8
Razão da P.A. = Taxa média x 2  Razão da P.A. = 12,5 x 2
n 8
Razão da P.A. = 3

Seja 3% a razão (constante), obtivemos as seguintes taxas crescentes: 0,5%, 3,5%, 7,5%, 11,5%, 14,5%, 17,5%, 20,5% e 24,5%. Neste caso obtemos 8 taxas diferentes por termos um período de depreciação de 8 anos, o que corresponde a 8 períodos.
Considerações para a formação do plano de depreciação:

1º Passo. Encontradas as taxas, calculamos a quota de depreciação Q referente ao primeiro período que é feito da seguinte forma: tira-se a taxa i respectiva do valor total de depreciação (18.000,00).

2º Passo. Calcula-se o fundo de depreciação da seguinte forma: soma-se a quota de depreciação Q a todas as quotas anteriores. No caso do primeiro período não há quotas anteriores, o fundo de depreciação será a própria quota de depreciação.

3º Passo. Calculamos agora o valor atual, que é o fundo de depreciação respectivo subtraído do valor do custo do ativo C.

4º Passo. Segue-se realizando os cálculos citados acima por sua ordem nos períodos seguintes até que se chegue ao final do último período.

MÉTODO DE COLE: O método de cole, consiste em dividir o total da depreciação em frações tais que, o numerador expresse os períodos que faltem para o final da vida útil do bem, e o denominador represente o somatório dos períodos.
Dessa forma temos:
n______, n-1 , . . . , 1 .
1+2+3...+n 1+2+3...+n 1+2+3...+n

que assim, obteremos as quotas de depreciação referente a cada período, da seguinte forma:
. . . , 1 . x Valor total da depreciação
1+2+3...+n

Vejamos no exemplo a seguir como se calcula a depreciação pelo método de cole.

Exemplo 4 - Calcular a quota de depreciação utilizando o método de cole e os dados do exemplo nº 1.

RESOLUÇÃO:
DADOS: C = 20.000,00 – Valor de Custo do Ativo
R = 2.000,00 – Valor Residual
n = 8 – Tempo
f = ? - Fração
n______, n-1 , . . . , 1 . 
1+2+3...+n 1+2+3...+n 1+2+3...+n

8______, 7 , . . . , 1 . 
1+2+3...+n 1+2+3...+n 1+2+3...+n

temos as frações:

_8_ , _7 , _6_ , _5 , _4 , _3 , _2 e _1_
36 36 36 36 36 36 36 36



Considerações para a formação do plano de depreciação:

1º Passo. Já encontradas as frações, calculamos a primeira quota de depreciação Q da seguinte forma: multiplica-se o valor total de depreciação à fração respectiva.
2º Passo. Já podemos calcular todas as quotas de depreciação utilizando o passo anterior.
3º Passo. Calculamos o fundo de depreciação, de forma que: soma-se a quota de depreciação Q respectiva, às quotas anteriores, no primeiro caso, como não há quotas anteriores, será o próprio valor da quota de depreciação.
4º Passo. Calcula-se todos os fundos de depreciação.
5º Passo. Encontrar o valor atual sendo: o valor atual anterior subtraído do fundo de depreciação respectivo.

MÉTODO DA CAPITALIZAÇÃO: Com este método, podemos calcular uma quota anual fixa que, colocada no fim de cada período a juros compostos, produza, no fim de n períodos, o montante de depreciação.
Neste caso, a quota de depreciação é igual ao termo do montante das rendas imediatas; portanto:

¬¬Q = C - R¬_
Sn¬i

Para que se entenda melhor, é preciso que desenvolvamos um pouco mais a formula da seguinte forma:

¬¬1 – Separa-se o numerador do denominador e obtemos: numerador é dado X = C – R, e o denominador igual a Sn¬i que representa a seguinte equação:
Sn¬i = (1+i)n –1 .
i

2 - Na aplicação do exercício, resolve por partes, e volta-se a fórmula inicial: Q = C - R¬_
Sn¬i

Vejamos agora uma aplicação prática desse método, e depois algumas considerações a serem tomadas.

Exemplo 5 – Utilizando dados dos exemplos anteriores, calcular a quota de depreciação pelo método da capitalização, sendo que a taxa obtida é de 10% a.a.

RESOLUÇÃO:
DADOS: C = 20.000,00 u.m. – Valor de Custo do Ativo
R = 2.000,00 u.m. – Valor Residual
n = 8 – Tempo
Q = ? Cota de depreciação por capitalização.
i = 10% a.a.

1ª Parte:
X = C – R
X = 20.000,00 – 2.000,00  X = 18.000,00
2ª Parte:
Sn¬i = (1+i)n –1
i
S8¬0,1 = (1+0,1)8 –1
0,1
S8¬0,1 = 1,18 –1
0,1

S8¬0,1 = 2,14358881-1
0,1
S8¬0,1 = 1,14358881  S8¬0,1 = 11,4358881
0,1
3ª Parte:
Q = C - R¬_  Q = 18.000,00  Q = 1.573,992 u.m.
Sn¬i 11,435888

Esta é a quota de depreciação por capitalização. Com isso podemos agora formar nosso plano de depreciação pelo método da capitalização.


Considerações para a formação do plano de depreciação:

1º Passo. Calculamos o fundo de depreciação referente ao primeiro período que é encontrado da seguinte forma: soma-se o fundo de depreciação anterior, no primeiro caso não existe (0) à quota de depreciação (Q) mais o juro respectivo que no primeiro período também não existe (0). Ex.: 0 + 1.573,992 + 0 = 1.573,992.
2º Passo. Calculamos o juro referente ao segundo período, que é encontrado da seguinte forma: extraímos a percentagem i do fundo de depreciação anterior. Ex.: 10% de 1.573,00 = 157,399.
3º Passo. Seguimos realizando todos os cálculos até que se encontrem todos os: juros e fundos de depreciação.
4º Passo. Achar os valores atuais, subtraindo o fundo de depreciação respectivo do valor do custo de capital C. Ex.: 20.000,00 – 1.573,992 = 18.426,008.

Há uma diferença entre os valores e a tabela, devido a aplicação de números de casas decimais. Esse é o motivo dessa pequena diferença. Vimos que a quota para a tabela é só uma, mas o fundo de depreciação, não se desenvolve em progressão aritmética como no exemplo 1. Isso ocorre devido os juros compostos calculados na tabela, que é justamente a função do método da capitalização. Podemos ver que na tabela os juros só começam a ser calculados a partir do segundo período, isso por que no período 0, não há depreciação por que representa a data da compra da máquina, e no período 1, não tem juros, por que representa somente um período, daí não entra juros compostos.

MÉTODO DAS ANUIDADES: Este método além de computar juros sobre o fundo constituído, leva em consideração os juros do investimento do capital. Cumpre-nos, portanto, calcular uma quota fixa que inclua a depreciação do bem e os juros da inversão.

Seja C o valor do investimento, e R o seu valor residual. Calculando-se os juros de inversão, o valor a depreciar é:
Cn – R ou C (1+i)n –R
Como a quota de depreciação é dada por:
Q = C (1+i)n –R
Sn¬i

Vejamos agora uma aplicação prática desse método, e depois algumas considerações a serem tomadas.

Exemplo 6 – Utilizando dados dos exemplos anteriores, calcular a quota de depreciação pelo método da capitalização, sendo que a taxa obtida é de 10% a.a.

RESOLUÇÃO:
DADOS: C = 20.000,00 u.m. – Valor de Custo do Ativo
R = 2.000,00 u.m. – Valor Residual
n = 8 – Tempo
Q = ? Cota de depreciação por anuidade.
i = 10% a.a.
1ª Parte:
Sn¬i = (1+i)n –1
i
S8¬0,1 = (1+0,1)8 –1
0,1
S8¬0,1 = 1,18 –1
0,1
S8¬0,1 = 2,14358881-1
0,1
S8¬0,1 = 1,14358881
0,1
S8¬0,1 = 11,4358881


2ª Parte:

Q = C (1+i)n –R  Q = 20.000(1+0,1)8 – 2.000 
Sn¬i 11,4358881
Q = 40.871,7762  Q = 3.573,992 u.m.
11,4358881

Calculada a quota de depreciação por anuidade.
Considerações para a formação do plano de depreciação:

1º Passo. Calculamos o juro do primeiro período, extraindo o i do valor atual anterior, que no caso é C.
2º Passo. Calculamos o saldo para depreciação para o primeiro período, subtraindo a quota de depreciação Q do juro respectivo, o qual já aprendemos a calcular no primeiro passo.
3º Passo. Calculamos o próximo valor atual, que no caso é o do primeiro período, subtraindo o valor atual anterior do saldo para depreciação equivalente.
4º Passo. Seguimos realizando todos estes cálculos até que se encontrem todos: juro, saldo de depreciação e valor atual.
5º Passo. Agora calculamos o fundo de depreciação, que é feito da seguinte forma: subtraindo C do valor atual respectivo. Dessa forma calcula-se os fundos de depreciação respectivos a cada período.

A diferença entre os valores da tabela, é devido o uso do número de casas decimais.
Vimos que a quota para a tabela é só uma, mas o fundo de depreciação, não se desenvolve em progressão aritmética como no exemplo 1. Isso ocorre devido os juros compostos calculados na tabela e ainda os juros do investimento do capital, que é justamente a função do método das anuidades.

Podemos ver ao decorrer dessa produção de pesquisa, que existem os mais variados métodos para o cálculo da depreciação, métodos estes que podem até não estar relacionados aqui, mas que todos servem para um só controle, o controle do patrimônio.

Observamos também que à medida que vão se apresentando os métodos, este vão sendo cada vês mais complexos, tornando assim o número de cálculos exorbitante. Fazer todas estas demonstrações pode ser até estressante, mas é importante pelos seguintes fatos que o administrador, o contador ou o próprio empresário, dispõe de várias formas de calcular a depreciação de seus bens. É importante também pelo fato de quem for utilizar dessa ferramenta, poderá escolher o modo que mais se enquadre às suas necessidades e às necessidades de sua empresa.

É importante colocar que nem todos os bens que uma empresa obtém, sofre desvalorização. E fica lançada a pergunta pra si mesmo: Qual o bem que ao decorrer do tempo, não se deprecia ou desvaloriza, do contrário, quanto mais o tempo passa, mas esse bem é valorizado.
Alexandre Portela Barbosa Msc
Enviado por Alexandre Portela Barbosa Msc em 24/12/2008
Código do texto: T1351368

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Alexandre Portela Barbosa Msc
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