"Dar-se ao trabalho" ou "dar-se o trabalho?"

Tanto faz. De acordo com a Novíssima Gramática da Língua Portuguesa, de Domingos Paschoal Cegalla (2008), as duas formas estão corretas.

1. Algumas dessas pessoas - todas de nível intelectual elevado - se deram ao trabalho de vir de Lisboa e de Ontário. (Carlos Drummond de Andrade)

2. Ela nem se dá o trabalho de responder à pergunta. (Érico Veríssimo)

3. Eu não me dou ao trabalho de explicar determinadas coisas.

4. Eu não me dou o trabalho de responder a determinadas perguntas.

*Dar-se ao trabalho: Entregar-se ao trabalho.

* Dar-se o trabalho: Dar a si o trabalho.

É isso.

Um abraço!