Medida de Borel em uma topologia por funções contínuas

Por: João Paulo da Silva Pereira

Resumo

Neste artigo foi apresentado uma forma de obter uma integração em uma topologia formada por funções contínuas que é calculada com a medida de Borel no intuito de demonstrar que pode haver uma conexão entre espaços métricos, mensuráveis e topologia por funções contínuas, cuja a "medida" é a menor das σ-álgebra.

Summary

In this article has been presented a way to obtain integration in a topology formed by continuous functions, which is calculated with the Borel measure in order to demonstrate that there can be a connection between metric, measurable spaces and topology by continuous functions, whose "measure" is the smallest of the σ-algebras.

Introdução

Os espaços métricos são de fundamental importância para definir uma métrica em um dado espaço, já que a distância em cada um dos pontos nesse espaço são as mesmas. Com a definição de um espaço métrico podemos definir um espaço de Banach e de Hilbert, assim como é também de fundamental importância a consciência de que podemos construir conjuntos ao definir os intervalos e os elementos (ou indivíduos) pertencentes a esse conjunto, e posteriormente que podemos definir uma função como uma relação de correspondência entre dois conjuntos, seja essa relação bijetiva, sobrejetiva ou injetiva. Outra área muito importante na matemática é a topologia, que é uma extensão da geometria, haja vista, o espaço métrico mais conhecido ser o euclidiano. Temos n tipos de topologia, o que convém aqui destacar é que pode-se descrever a construção da topologia por funções contínuas a partir de um espaço métrico específico e que a topologia por funções contínuas afeta a construção de espaços mensuráveis e a definição de medidas em espaços métricos. Também é possível descrever como a medida de Lebesgue pode ser usada em um espaço métrico específico e a definição da medida de Borel em outro, que leva em conta a topologia por funções contínuas. Por fim, pode-se abordar a definição da integração na topologia por funções contínuas e como ela é calculada com relação a uma medida de Borel.

Desenvolvimento

Podemos construir uma topologia por funções contínuas a partir de um espaço métrico, onde há um homeomorfismo em f: (M, d1) → (M', d2). Vejamos, seja (M, d1) um espaço métrico e f: (M, d1) → (M', d2) um homeomorfismo para um espaço métrico (M', d2). Definimos uma topologia em M' chamada de "topologia por funções contínuas" como sendo a topologia gerada por todas as funções contínuas f^(-1)(U) em M, onde U é um conjunto aberto em M'. Em outras palavras, a topologia em M' é gerada por todas as pré-imagens de conjuntos abertos em M' por meio de funções contínuas em M.

É fácil verificar que essa coleção de conjuntos satisfaz as propriedades de ser uma topologia em M', dado que ela contém M' e o conjunto vazio é fechado sob interseções arbitrárias e uniões finitas. Além disso, a função f é um homeomorfismo entre (M, d1) e (M', d2), o que significa que f é uma bijeção, f é contínua e sua inversa f^(-1) é contínua. Portanto, a topologia por funções contínuas em M' é exatamente a mesma que a topologia induzida por d2, ou seja, (M', d2) é homeomorfo a M'. Desta forma, a topologia por funções contínuas em M' é construída a partir de M, assim como a métrica d1 em M. Essa topologia pode ser vista como um refinamento da topologia original de M', em que os abertos em M' são agora limitados por funções contínuas de M.

Vejamos como a partir dessa topologia podemos provar que a topologia por funções contínuas tem continuidade uniforme. Primeiramente, vamos supor que temos duas métricas d2,1 e d2,2 em M' que geram as topologias por funções contínuas T1 e T2, respectivamente.

Para todo ε > 0, escolha δ = ε/2. Então, sejam x, y em M'. Se d2,1(x,y) < δ, temos que:

|d2,1(x,y) - d2,2(x,y)| ≤ d2,1(x,y) + d2,2(x,y) < 2δ = ε.

Isso implica que a métrica d2,2 continua contínua em relação à métrica d2,1. De maneira análoga, podemos mostrar que a métrica d2,1 é uniformemente contínua em relação a métrica d2,2. Portanto, a topologia por funções contínuas em M' é uniformemente contínua.

Agora, definimos os abertos e fechados em M' na topologia por funções contínuas. Um conjunto U em M' é aberto se para todo x em U, existe um ε > 0 tal que o conjunto B_ε(x) = {y ∈ M' | d2(x,y) < ε} está contido em U. Em outras palavras, U é um conjunto aberto se ele é arbitrariamente próximo de cada um de seus pontos. Já um conjunto F em M' é fechado se o seu complementar (M' - F) é aberto. Isso significa que um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Por fim, cabe ressaltar que como M' é homeomorfo a M, a definição de abertos e fechados em M' na topologia por funções contínuas equivale à definição de abertos e fechados em M em sua topologia original induzida pela métrica d1.

A partir disso podemos definir um espaço mensurável, uma função de medida para M, outra para M' e posteriormente a integração nessa topologia. Para definir um espaço mensurável em M, podemos usar sua topologia original induzida pela métrica d1 e a sigma-álgebra gerada por essa topologia, ou seja, a sigma-álgebra de Borel em M. Assim, temos o espaço mensurável (M, B(M)).

Já em relação a M', como a topologia por funções contínuas é gerada por funções contínuas de M, podemos definir a sigma-álgebra de M' como a sigma-álgebra gerada pelas pré-imagens de conjuntos Borel de M'. Dessa forma, temos o espaço mensurável (M', B(M')).

Em M, podemos definir a função de medida μ como sendo a medida de Lebesgue, que associa a cada conjunto A em B(M) o número real μ(A), que representa a "medida" de A. Essa medida é definida em termos de intervalos abertos. Já em M', podemos definir a função de medida ν como a medida de Borel, que é a medida que associa a cada conjunto A em B(M') o número real ν(A), que representa a "medida" de A. Essa medida pode ser definida em termos de intervalos abertos ou por meio da medida de Lebesgue em M.

Agora, a integração na topologia por funções contínuas pode ser definida de forma análoga à integração de Lebesgue em espaços euclidianos. Dado um espaço mensurável (X, B(X)), uma função mensurável f: X → R e uma medida μ: B(X) → [0, ∞], podemos definir a integral de f em relação a medida μ como

∫ f(x) dμ(x).

Seja (M, B(M)) um espaço métrico e f: M → M' uma função contínua e mensurável, onde (M', B(M')) é um outro espaço métrico com a topologia por funções contínuas. Podemos, então, definir a integral de f com relação à medida ν em M' como:

∫ f(x) dν(x) = ∫ f(x) dμ(x).

Onde μ é a medida de Lebesgue em M e a integral à direita é a integral usual de Lebesgue no espaço mensurável (M, B(M)).

Conclusão

Concluindo, foi possível demonstrar que pode haver uma conexão entre espaços métricos, mensuráveis e topologia por funções contínuas _ com a medida de Borel _ e a sua integração por meio da integral de Lebesgue.

Referências

CAMPELLO, Ermínia; IZAR, Sebastião. TOPOLOGIA GERAL: notas de aula - n°5. 2° edição. São José do Rio Preto - SP: Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", 2010. p.167.

CABRAL, Marco. Introdução à Teoria da Medida e Integral de Lebesgue. 2° edição. Rio de Janeiro - RJ: Departamento de Matemática Aplicada da Universidade do Rio de Janeiro, agosto de 2015. p.49.

SANTOS, José. Introdução à Topologia. Porto - Região Norte de Portugal. Universidade do Porto (U. Porto) - Faculdade de Ciências. p.192.