Grupo munido de operações algébricas _ com uma relação biunívoca com o seu subgrupo _ com topologia discreta e espaços topológicos homeomorfos descritos em termos de grafos
Por: João Paulo da Silva Pereira
Resumo
Neste artigo foi construído um grupo munido de operações algébricas, com o seu subgrupo constituído pelas mesmas operações que o compõem. Tal relação foi definida como uma função F: G → H. Posteriormente foi definido um espaço topológico X com base no grupo G, e um outro Y com base em H. Formado por uma relação biunívoca entre X e Y, onde tal relação foi definida por uma função, sendo esta função composta por outras também contínuas, bijetivas e que admite inversas também contínuas. Por fim, tal relação foi descrita em termos de grafos, onde encontrou-se duas possíveis descrições.
Summary
In this article, a group equipped with algebraic operations was built, with its subgroup constituted by the same operations that compose it. Such relation was defined as a function F: G → H. Subsequently, a topological space X was defined based on the group G, and another Y based on H. Formed by a biunivocal relation between X and Y, where such relation was defined by a function, this function being composed of others that are also continuous, bijective and that admit inverses that are also continuous. Finally, this relationship was described in terms of "graphs", where two possible descriptions were found.
Introdução
Primeiramente é necesário saber que é possível construir um grupo munido de operações algébricas e estabelecer uma relação biunívoca com um subgrupo através de uma função contínua entre dois espaços topológicos. Para isso, considere primeiro um grupo G com suas operações algébricas, como a multiplicação e a inversão. Além disso, considere um subconjunto H de G, que também é um grupo com relação às mesmas operações. Agora, estabeleça uma relação biunívoca entre G e H através de uma função F: X → Y, onde X e Y são espaços topológicos. Para isso, pode-se tomar X como o espaço topológico G, munido de uma topologia adequada (por exemplo, a topologia gerada pela métrica discreta), e Y como o espaço topológico H, também com a topologia adequada.
A função F: G → H pode ser definida de forma que, para cada elemento g em G, F(g) seja o correspondente em H. Essa função deve ser contínua em relação às topologias em X e Y. Para ser contínua, a função F deve satisfazer a propriedade de preservar conjuntos abertos: para todo conjunto aberto U em H, a imagem inversa F^-1(U) deve ser um conjunto aberto em G. Agora, descrevendo em termos de grafo, pode-se dizer que o grafo da função F é um subconjunto do produto cartesiano G × H, onde cada par (g, h) está no grafo se e somente se f(g) = h. O grafo da função F pode ser representado como um conjunto de pontos no espaço G × H, onde cada ponto (g, h) está ligado por uma aresta se f(g) = h. Note que, para que a relação seja biunívoca, a função f deve ser bijetora, ou seja, deve ser tanto injetora (cada elemento de G é mapeado para um único elemento em H) quanto sobrejetora (todo elemento em H é a imagem de pelo menos um elemento em G).
Portanto, é possível estabelecer uma relação biunívoca entre um grupo G munido de operações álgebricas e um subgrupo H através de uma função contínua F: G → H, com X e Y sendo dois espaços topológicos, e descrever essa relação em termos de grafos através do grafo da função F no espaço G × H.
Desenvolvimento
Primeira parte
Atendo-se ao subgrupo normal (H ⊂ G), temos que
∀x ∈ X, g ∈ G e (gxg^-1) ∈ X
∀y ∈ Y, g ∈ G e (gyg^-1) ∈ Y
∀x ∈ X, h ∈ H e (hxh^-1) ∈ X
∀y ∈ Y, h ∈ H e (hyh^-1) ∈ Y.
Como ∀x, y, ∃x^-1, y^-1, temos que
x.x^-1 = e
y.y^-1 = e
x + (-x) = e
y + (-y) = e.
Onde e (o elemento neutro) é a identidade do grupo.
Em um grupo aditivo (G, +), temos que
G × G → G, onde ∀(x, y), temos c = x + y ∈ G.
Da mesma forma para o subgrupo aditivo de G, isto é, (H, +)
H × H → H, onde ∀(x, y), temos d = x + y ∈ H.
Ou seja, para cada par de elementos em G e H, temos que ele associa um único elemento c e d, respectivamente.
A métrica discreta em um dado conjunto é a métrica que define uma distância 0 para os pares de elementos iguais (d (x, y) = 0) e para os pares de elementos distintos 1 (d (x, y) = 1). Portanto, temos a definição:
d (x, y) = 0, se x = y
d (x, y) = 1, se x ≠ y.
Assim, a métrica d define a topologia discreta em X, onde todos os seus subconjuntos são abertos.
Temos que para todo ponto tomado em X existe um raio r menor que 1, que implica que o x é o único ponto dentro do raio r. Matematicamente, temos
∀x ∈ X, ∃r < 1 ⇒ x ⊂ r.
Também temos que cada ponto individual é aberto
∀x: ]x[ ⇒ topologia discreta.
Como
n
U x = )x1, x2, ..., xn(.
i = 1
Então
n
U x é aberto.
i = 1
Segunda parte
Vamos considerar que exista outro espaço topológico Y, onde Y := H. Se existe um homeomorfismo entre esses espaços, então existe uma bijeção entre eles e a função quanto a sua inversa são contínuas.
Seja F: X → Y um homeomorfismo, então
I) F é bijetora, isto é, ∀x ∈ X, existe um único elemento y ∈ Y | F(X) = y e ∀y ∈ Y, existe um único elemento x ∈ X | F^-1(Y) = x.
II) F é contínua, isto é, ∀U ∈ Y, o conjunto F^-1(U) é aberto em X.
III) A inversa de F também é contínua, ou seja, F^-1: Y → X é contínua.
Para que (f1: x1 → y1, f2: x2 → y2, ..., fn: xn → yn) sejam contínuas elas devem satisfazer a propriedade de simetria, ou por outra, se F(X) = y, então F^-1(Y) = x. Ou melhor, F é invertível e a sua inversa também é uma função.
Se f1, f2, ..., fn são contínuas, simétricas, e se existe um homeomorfismo F: X → Y que é contínua e bijetora, então os n espaços topológicos x1, x2, ..., xn são homeomorfos aos n espaços topológicos y1, y2, ..., yn, respectivamente. Porém, a continuidade e a simetria das funções individuais não são condições suficientes para garantir que os espaços topológicos sejam homeomorfos entre si, pois para isso é necessário provar a existência de um homeomorfismo global. Mas sendo
n
U F = (f1 U f2 U ... U fn), ∀(x1, y1), ..., (xn, yn).
i = 1
Há um homeomorfismo global, ou seja, todos os espaços topológicos são conectados.
Definimos o grafo como (G, H), onde G é, neste caso, um conjunto e H um subconjunto de G. Pode-se, portanto, definir o isomorfismo entre os dois grafos X e Y como uma bijeção. Assim, temos F: G(X) → H(Y) | x, y são adjacentes em X sse F(x) e F(y) são adjacentes, onde x e y são os vértices. Isso implica que os vértices são adjacentes, ou seja, há um homeomorfismo entre os grafos (sendo redundante).
Como X := G e Y := H | H ⊂ G. Podemos, então, definir o espaço G × H, que é formado por todos os pares ordenados (x1,1.x2,1, y1,1.y2,1, ..., xn,n.yn,n), onde x1, y1 pertencem a G, x2, y2 a H, e após a vírgula temos os índices que fazem referência a ordem de aparecimento dos vértices do grafo. Ou poderíamos ter o grafo da função F, que é um subconjunto do produto cartesiano G × H.
Conclusão e considerações finais
A função F define o homeomorfismo entre os espaços X e Y através de todas as funções que compõem o espaço, ou melhor, através de todos os homeomorfismos locais. A partir do espaço topológico X e Y é definido os grafos X e Y, porém, pode-se argumentar que Y não pode ser definido a partir de H, pois um espaço topológico não poderia ser concomitantemente discreto e homeomorfo a outro, a verdade é que podem desde que possuam o mesmo número de pontos, assim, a sua relação de bijetividade (já que "H é menor que G") continuará se dando com um único elemento de G, mas ele terá elementos repetidos. Por fim, quando foi definido F: X → Y um homeomorfismo, U também se refere a qualquer conjunto aberto em Y.
Referências
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