Medidas de comprimento e massa

UNIDADE DIDÁTICA: Medidas de Comprimento e Massa

1. INTRODUÇÃO:

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma unidade didática fundamental que deve ser trabalhada nas séries iniciais do Ensino Fundamental: medidas de comprimento e massa. As unidades de medida, de modo geral, estão muito evidentes no nosso cotidiano, e são de grande importância nas relações humanas.

Embora existam diversas unidades de medidas, o nosso trabalho irá abordar apenas as unidades de comprimento e massa. É interessante notar que tais medidas não estão presentes apenas nos objetos, mas também nos próprios indivíduos. A altura e o peso de uma pessoa, por exemplo, são usadas desde que o bebê está dentro da barriga de sua mãe, e são elementos muito evidentes no cotidiano dos alunos. Outra forma de perceber tais medidas é, por exemplo, através do tamanho de uma sala ou a massa de um alimento.

Para transmitir tudo isso para os alunos, decidimos que a estratégia mais eficaz seria por meio de atividades que usassem não apenas teorias, mas coisas que fazem parte da rotina dos alunos, para que eles possam observar, analisar, levantar hipóteses e, por fim, discutir, o que os ajudaria a chegar na construção das próprias conclusões. Assim, o caminho ficaria mais fácil para a explicação e assimilação do conteúdo.

Dividimos o trabalho em quatro pontos principais. Primeiro iremos abordar o tema apresentando o conteúdo matemático; em seguida, mostraremos quais são as possibilidades didáticas que podem ser usadas para que esse conteúdo seja transmitido; depois daremos seis exemplos de atividades para serem dadas aos alunos para que seja possibilitada uma discussão em torno do tema; por fim, apresentaremos nossas considerações finais sobre o trabalho desenvolvido.

2. O CONTEÚDO MATEMÁTICO.

a. O conceito de medir, o canhão do meio-dia

Durante séculos, uma remota aldeia à beira-mar, numa

costa distante, mantinha-se a par do tempo por meio do

canhão que uma base militar local disparava exatamente

ao meio-dia de sua posição no alto de um morro próximo.

Isso foi muito antes do celular, da internet, da televisão e

do rádio, e na aldeia o som do canhão do meio-dia era um

fenômeno tão natural quanto o nascer e o pôr do sol, uma

regularidade que celebrava o dia e separava a manhã da

tarde. Ele moldava a estabilidade e o ritmo da vida dos

aldeões, e era usado para planejar tudo, desde encontros

comerciais até casos amorosos clandestinos.

Segundo essa velha lenda, um adolescente perguntava-se

como o canhão sabia que devia disparar exatamente ao

meio-dia. Certa vez, subiu o morro e indagou ao artilheiro

responsável como ele disparava o canhão. O soldado sorriu

para o rapaz. Ele o fazia por ordem do oficial de comando,

cujos deveres incluíam encontrar o relógio mais acurado

possível e mantê-lo cuidadosamente sincronizado.

O jovem então abordou o oficial de comando, que com

orgulho lhe mostrou o preciso e finamente construído

medidor de tempo.

E como ele era acertado? Em sua caminhada semanal até

a cidade, disse o comandante, sempre fazia o mesmo

trajeto, que o levava a passar pela loja do relojoeiro local,

onde parava e sincronizava seu relógio com o grande e

venerável relógio da vitrine, aquele que várias pessoas na

cidade também usavam para acertar a hora.

No dia seguinte, o jovem visitou o relojoeiro e lhe

perguntou como ele acertava o grande relógio na vitrine.

"Pelo único meio confiável que qualquer pessoa daqui já

tenha tido'', replicou o homem. "Acerto pelo canhão do

meio-dia!"

Extraído do livro de Crease (2013).

A história do canhão do meio dia na aldeia à beira mar capta a nossa maneira habitual de confiar em medidas. Uma medida é simplesmente um padrão ou uma marca pela qual nós calibramos ou avaliamos alguma coisa. Na aldeia as pessoas usavam um o tiro do canhão para marcar o período da manhã e da tarde. Uma vez que a medida existia é irresistível considerá-la um ponto pacífico e supor que ela sempre existiu.

As medidas tornaram-se parte do perfil das coisas, parecendo pertencer ao mundo em si, mas cada padrão ou marca veio ao mundo por resultado de uma decisão humana. A natureza não nos fornecer réguas, balanças, e, embora dias e anos ocorram com regularidade, são apenas pontos de origem para a marcação do tempo.

Assim, é o homem que fabrica as medidas, com auxílios de objetos como relógios de sol ou réguas e balanças. Conferimos nossas medidas comparando-as com outros padrões confeccionados, ou assumimos que tais padrões devam existir em algum lugar, como no mito cosmológico de que a terra é sustentada por um elefante em pé sobre tartarugas, “atente a uma tartaruga final”. O resultado pode ser arbitrário, se todos os relógios da remota aldeia à beira mar subitamente quebrassem e as pessoas tivessem que inventar um novo marcador de meio dia. Tal marcador certamente seria diferente, mas a diferença não teria importância, o resultado pode ser ao mesmo tempo arbitrário e circular, nós definimos uma medida por algum elemento do mundo. A arbitrariedade e a circularidade refletem o modo típico de como as pessoas escolhem medidas, improvisando com algo que esteja ao nosso redor (CREASE, 2013).

Uma imagem do canhão do meio-dia “original” de Nice pode ser visto na figura 01. Um canhão de mesa de mármore e latão, utilizado como ferramenta de marcação do tempo pode ser visto na figura 02.

Dada à reflexão sugerida pela lenda do canhão do meio-dia, podemos buscar uma definição mais precisa para o conceito de medir.

Figura 01: Canhão do meio-dia “original” de Nice. Fonte: http://www.bestofniceblog.com/

Figura 02: Canhão do meio-dia. França, mármore e latão. Lentes podem ser ajustadas segundo a estação do ano. Fonte: História Ilustrada das antiguidades, H. Mallalieu (1999).

Ponte e Serrazina (2000) definem medir como uma síntese das operações de mudar de posição e subdividir. Um processo que consiste em atribuir a uma quantidade de uma determinada grandeza, um número real. Os autores colocam que o processo de medir consiste em comparar uma quantidade dada de comprimento, massa, volume, ou qualquer outra grandeza com o comprimento, massa, volume ou grandeza correspondente de um dado objeto definido, que chamamos de unidade, sendo possível associar um número a tal quantidade de grandeza.

Viswanathan (2005) apresenta uma definição proposta por Nunnaly em 1978:

 A medição é um fator essencial para a pesquisa empírica. A medição científica pode ser definida como “regras para atribuir números para objetos de modo tal que esses números representem quantidades de atributos”

Nunnaly & Bernstein (1994), por sua vez, definem:

 A medição consiste em regras para atribuir símbolos à objetos de modo a:

• Representar quantidades de atributos numericamente (escalonar);

• Definir se diferentes objetos caem dentro de uma mesma categoria ou não no que diz respeito a uma determinada característica (classificar).

Pfanzag, já em 1959, mostra uma definição bastante semelhante:

 Objetivo geral da medição é mapear um conjunto M dentro do conjunto de números reais de modo que, da melhor forma possível, conclusões possam ser traçadas dentro dos elementos de M com base na relação entre os números designados.

Por fim, um trabalho seminal apresentado por Stevens, em 1946, buscou responder uma questão levantada pela British Association for the Advancement of Science. Basicamente, Stevens foi questionado acerca da possibilidade de se quantificar experiências sensoriais. Stevens (1946) definiu então, de forma simples:

 Medir, no seu sentido mais genérico, é atribuir números a objetos ou eventos, segundo regras.

Assim, de modo semelhante ao discutido pela lenda do canhão do meio dia, verifica-se que o medir está relacionado à atribuição de um número, uma escala, àquilo que se deseja medir, “objetos ou fenômenos”, de modo relacional e padronizado.

Lanner de Moura & Lorenzato (2001) destacam os três aspectos constitutivos da medida, conforme proposto também por Caraça (1975):

• Seleção da unidade de medida;

• Comparação da unidade com a grandeza a ser medida;

• Expressão numérica da comparação.

Selecionar a unidade de medida consiste em definir o objeto ou fenômeno a ser estudado, e qual a sua característica (grandeza) que se deseja medir, definindo, assim, a unidade de medida (exemplo: desejo estudar o objeto estojo, característica de comprimento, utilizando os centímetros como unidade de medida). A grandeza é, então, comparada com a escala padronizada determinada, e por meio de tal comparação é expressa em unidades numéricas.

b. A necessidade de medir

Certamente, desde os primórdios, o homem sempre apresentou a necessidade de medir, seja a medida do tempo que diferencia o dia da noite, as fases do ano que orientavam suas colheitas, as dimensões dos espaços territoriais, dentre outros. No inicio, o homem supria essa necessidade de modo confuso e muito individual, usando geralmente elementos da natureza, como o Sol, a lua e as estrelas ou partes do corpo, como pés, mão e dedos.

À medida que as civilizações foram crescendo e grandes negociações começaram a ser realizadas, foi-se percebendo o quanto o sistema de medida era confuso e tinha diferenças de uma civilização para outra. A necessidade de negociar acabou levando o homem a refletir a importância de estabelecer padrões contínuos nos sistemas de medidas (CREASE, 2013).

Caraça (1975) também expressa de forma interessante tal necessidade do homem. Fundamentos matemáticos, assim como fundamentos de qualquer outra ciência, mergulham fundo na realidade, todos os conhecimentos “entroncam na mesma madre”. O homem tem o desejo de lutar contra a natureza e dominá-la, estudá-la. Resultados desse estudo geram um conhecimento acumulado ao longo da vida consciente da humanidade, que pode se denominar “ciência”.

c. A história da medida

i. Bendick (1965) e a história de pesos e medidas

Em nossa pesquisa, percebemos ser impossível traçarmos uma “Linha do tempo” dos instrumentos de medida, pelos simples fato de que seu uso e “invenção”, bem como seus conceitos, mudam de acordo com a especificidade da cultura estudada.

Em diversos momentos da história, podem ser usados modos de medidas iguais, ou num mesmo momento podem variar drasticamente os modos de medição. Isso se dá principalmente porque o motor da evolução dos instrumentos e conceitos de medida nada mais é que a necessidade que a sociedade acredita ter desses conceitos e instrumentos.

Segundo Bendick (1965), “Os pesos e medidas antigos foram inventados para a satisfação de necessidades específicas. Quando a necessidade desaparecia, a medida caía em desuso, exatamente como sucede hoje, se deixam de fazer falta”. Ainda hoje há no mundo povos sem sistemas mais elaborados de pesos e medidas, simplesmente por não haver necessidade destes. Em algumas sociedades isoladas, onde os negócios consistem no escambo de objetos, onde terras e alimentos pertencem a todos, não há tanta razão para que alguém se preocupe em conceituar algum tipo de padrão. Ainda assim, há alguns marcos importantes a serem destacados.

O mais antigo instrumento de medida de que se tem notícia hoje em dia, é o próprio corpo humano. Bendick (1965) apresenta vários tipos de medida que nasceram com a observação e utilização deste simples instrumento, como a jarda. Além do próprio corpo, é interessante citar que alguns instrumentos bastante rudimentares foram desenvolvidos na antiguidade para atender algumas necessidades de padronização já apresentadas naquele momento (HIMBERT, 2009). As figuras 3 e 4 ilustram alguns desses instrumentos.

Bendick (1965) ainda ressalta:

É interessante notar que, ao longo da História, a maioria dos pesos e medidas foi regulada por chefes de tribos e governantes de países e não por parlamentos ou casas de congresso. Muitas medidas comuns atravessaram os séculos com poucas modificações, desde o tempo dos saxões. A diferença entre a jarda mais antiga e a que se usa hoje é menor que 25 centésimos de milímetro.

No entanto, conforme surgiu, por exemplo, o fenômeno dos negócios em grande escala entre os homens essas medidas, que se mostravam relativas demais, foi-se percebendo a necessidade de uma medida padrão que significasse o mesmo valor na China ou na Sibéria. Fica claro também que a evolução tecnológica dos instrumentos de medida não é linear. Um peso ou uma medida introduzida num país eram muitas vezes levados a outro através de comércio ou conquista. Bendick (1965) dá como o exemplo o caso da expansão do Império Romano que levou pesos, medidas e moedas para diversos continentes da terra, mas que, gradualmente, “por erros de cópia ou de interpretação os padrões se tornaram tão inexatos e confusos que muito deles caíram em desuso. Pelo século XVI, a maior parte dos europeus havia retornado aos velhos padrões inspirados no corpo humano”.

Outra importante variável é a dimensão da medida que estamos tratando. Tratando-se, por exemplo, da questão da medida do peso, percebe-se que esta envolve um cálculo mais complexo, pois não mede apenas a massa, mas sim a força da atração que a gravidade exerce sobre qualquer objeto que possua massa, sendo este variável conforme a sua distância do centro da terra. Bendick (1965) aponta:

O fato de que o peso em si mesmo era uma medida completamente separada do tamanho ou da consistência foi uma ideia que levou muito mais tempo a se desenvolver. No início, comparavam-se pesos equilibrando dois pequenos objetos, um em cada mão, e calculando se um deles era mais leve ou se os dois pesavam mais ou menos a mesma coisa. Levou muito tempo até alguém pensar numa máquina de pesar – um bastão suspenso no meio por uma corda. Os objetos a pesar eram pendurados em duas outras cordas, uma em cada ponta do bastão. Se eles se equilibrassem, o bastão ficava paralelo ao chão.

Figura 03: Estátua de Gudea de Lagash (Mesopotâmia) e um cúbito graduado, a ser utilizado como uma “vara de medir”. Data de 2.000 a.C., Mesopotâmia. Fonte: http://www.wikiwand.com/en/Measuring_rod.

Figura 04: “Envelopes” de argila com bolas dentro. Utilizado como referencia para fazer a contagem de elementos, como animais. Data de 6.000 a.C., Mesopotâmia. Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_writing_ancient_numbers

ii. Lanner de Moura & Lorenzato (2001), e o medir de crianças pré-escolares

Lanner de Moura & Lorenzato (2001) conduziram uma pesquisa chamada “O medir de crianças pré-escolares”, que demonstra como nascem os conceitos de medida a partir das necessidades. Temos aqui uma situação de aprendizagem que visa justamente testar a capacidade de medir das crianças em idade pré-escolar. Neste trecho vemos surgir o conceito de número racional a partir da necessidade de se expressar uma medida, que não é contemplada pelo conjunto de números naturais.

Em seu trabalho, os pesquisadores fizeram com que os alunos pulassem a partir de um ponto, e que usassem apenas canudos como forma de medida. Dois conjuntos de canudos foram entregues para os alunos, um conjunto de canudos mais grossos e maiores, e outro de canudos menores e mais finos. Um garoto, ao medir a distância de seu pulo usando apenas os canudos grandes, percebeu que, quando colocava o sexto canudo entre o ponto de partida do pulo e o seu limite, este ultrapassava a distância; e que quando tirava esse canudo, faltava uma parte a ser coberta. Logo ele percebeu que deveria usar o canudo menor e ir encaixando no maior, até que cobrisse o pedaço que faltava, deixando claro assim que não só os instrumentos físicos, mas os próprios conceitos de medição surgem e evoluem de acordo com as necessidades percebidas em determinada situação. Lanner de Moura e Lorenzato (2001) comentam:

Gui e seus colegas se encontram diante do desafio de ler numericamente a fileira de canudos, por esta não representar um número inteiro de vezes a unidade, ou seja, se encontram diante de um dos problemas de medida experimental, o que requer o salto da contagem do discreto para a do contínuo, e a ampliação dos números naturais para os racionais. No processo de medida, nem sempre o cálculo aritmético é expresso por um número natural. Pode ocorrer que a unidade escolhida não esteja contida em um número inteiro de vezes na grandeza a ser medida. Surge então a necessidade de fracionar a unidade para expressar exatamente o valor da grandeza em partes da unidade, o que não é possível fazer com números naturais, mas com os racionais. Este aspecto é demonstrativo da interdependência entre as duas operações da medida: a expressão numérica depende da operação de aplicação da unidade, como afirma Caraça (1975).

iii. Em busca de um sistema internacional de medidas

Himbert (2009) desenvolve um interessante estudo sobre a história, origem e desenvolvimento, do medir em sociedades humanas. Após o período da antiguidade, Himbert classifica o sistema de medições até 1795 como um “elo frágil” do conhecimento humano, por não se possuir unidades oficiais e científicas a partir do qual estruturar a base da ciência. Em outras palavras, da Roma antiga até 1795 não havia ligação entre as medidas científicas e as “unidades práticas”, usualmente definidas localmente nos reinos, províncias ou cidade, como comentado na sequência anterior.

Por conta do aumento do comércio entre regiões e crescente interação social, gerou-se um crescente interesse na unificação de um sistema de medidas.

Em 1795, na França, é estipulado o sistema métrico, a partir do qual se define o metro como uma fração do meridiano da Terra (1*10^-7). Este foi o primeiro passo no sentido de se desenvolver um sistema internacional de medidas.

Conforme Dixon-Román & Gergen (2012), uma das grandes forças que preparam o terreno para as práticas contemporâneas de medição foi o surgimento da filosofia positivista do século XIX. Em particular, os escritos de Auguste Comte (1798 – 1857), que defendiam a apropriação do método científico para o estudo da mente humana e do mundo social não apenas como algo possível, mas necessário para o desenvolvimento da sociedade.

Essa mudança de paradigma foi absorvida por grandes filósofos como John Stuart Mill e Durkheim, facilitando o surgimento de todo um campo de pesquisa social, contemplando a economia, sociologia e psicologia.

O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM) (International Bureau of Weights and Measures / Bureau international des poids et mesures) foi criado pela Convenção do Metro (Convention du Mètre), assinada em Paris, em 20 de maio de 1875 por 17 Estados, por ocasião da última sessão da Conferência Diplomática do Metro (INMETRO, 2012).

O Bureau Internacional, que tem por missão assegurar a unificação mundial das medidas físicas, é encarregado:

• De estabelecer os padrões fundamentais e as escalas das principais grandezas físicas, e de conservar os protótipos internacionais;

• De efetuar a comparação dos padrões nacionais e internacionais;

• De assegurar a coordenação das técnicas de medidas correspondentes;

• De efetuar e de coordenar as determinações relativas às constantes físicas que intervêm naquelas atividades.

Verifica-se, então, que por meio de tal Bureau, a sociedade deu um passo definitivo no desenvolvimento de um sistema único de medidas, baseado em critérios científicos, tão essencial no momento para a aplicação das práticas positivistas de desenvolvimento científico e tecnológico.

Tais unidades passaram então a ser definidas nas CGPM (Conferências gerais de pesos e medidas), conduzidas anualmente para o compartilhamento dos desenvolvimentos científicos em suas respectivas áreas. Por meio de tal organização, passou-se a verificar crescente aumento na precisão das definições.

d. A definição segundo o Sistema Internacional

O Sistema Internacional de Unidades, apresentado brevemente, é um conteúdo importante de ser trabalhado para o desenvolvimento de todas as ciências, seja a Física, Química, Biologia, Geografia, ou a própria Matemática.

A exposição da evolução da definição das unidades suscita a discussão sobre a importância de se ter um padrão cada vez mais claro e bem definido acerca dessas unidades.

Outra questão interessante de se debater é a busca por representar cada unidade não por meio de protótipos arbitrariamente definidos, mas por fenômenos naturais mensuráveis, a condições controladas e previamente estabelecidas (algo que se foi feito para todas as unidades de base, com exceção do quilograma), e como tal busca se relaciona com o desejo do homem de compreender e controlar a natureza que o cerca.

Nos próximos itens, segue uma rápida exposição da evolução das unidades trabalhadas (retirado de INMETRO, 2012):

 Unidades de comprimento (metro): A definição do metro baseada no protótipo internacional em platina iridiada, em vigor desde 1889, foi substituída em 1960 por uma outra definição baseada no comprimento de onda de uma radiação do criptônio 86, com a finalidade de aumentar a exatidão da realização do metro. Em 1983, essa última definição foi substituída pela seguinte: “O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo”. Essa definição tem o efeito de fixar a velocidade da luz em 299.792.458 m.s-1, exatamente.

 Unidade de massa (quilograma): O protótipo internacional do quilograma (figura 05) foi sancionado pela 1ª CGPM (1889) ao declarar que “este protótipo será considerado doravante como unidade de massa”.

Figura 05: Protótipo de platina iridiada (fonte: http://physics.nist.gov/cuu/Units/kilogram2.html)

3. ABORDAGEM DIDÁTICA DO CONTEÚDO.

Conforme comentado no início de nosso trabalho, o conteúdo matemático existente no “medir” é bastante explícito e presente no cotidiano dos alunos, sendo o “medir” em si um conteúdo interessante e vasto. Por meio do conceito de medições, é possível trabalhar a ideia da matemática como uma linguagem construída socialmente, linguagem como instituição social, com as características de exterioridade, objetividade, coercitividade, autoridade moral e legitimidade e historicidade, conforme proposto por Berger & Berger (2004).

Ao trabalhar com medidas de comprimento e massa, é possível evidenciar o quanto o mundo, em seu desenvolvimento e processo de globalização, sentiu a necessidade de construir e pensar em padrões que unificassem as mais variadas formas de medir, para que houvesse comunicação e facilitasse as trocas de informações, mercadorias, alimentos, entre outros. Santos (2008) traz isso quando diz a respeito da variação do leque cultural que devemos estar atentos:

“Sendo a matemática uma construção humana em decorrência da relação do homem com a natureza e da vida em sociedade, o sentido para o que se aprende na escola é dado na medida em que os conhecimentos matemáticos adquiridos pelos sujeitos sejam utilizados para o entendimento de diferentes aspectos da cultura a que pertencem, para a comunicação e enfrentamento de situações do cotidiano. Medir, contar, localizar e localizar-se, ler e interpretar informações de gráficos, mapas e textos, argumentar ou contra-argumentar, resolver problemas e comunicar raciocínios feitos e resultados encontrados são alguns dos muitos usos da matemática.” (SANTOS, 2008, p. 35)

Os próprios números e a notação matemática, uma linguagem essencial para o trabalho da ciência matemática, pode ser explorado dentro de medições, uma vez que o terceiro aspecto constitutivo da medição é a expressão numérica da comparação (CARAÇA, 1975). É bastante interessante discutir o próprio desenvolvimento histórico das notações matemáticas e como este foi diferente para diferentes civilizações: Babilônios, Egípcios, Fenícios e Sírios, Hebreus, Gregos, Árabes, Romanos, Peruanos e Norte-Americanos, Astecas, Maias, Chineses e Japoneses, Hindu-Arábico. Um excelente livro para esse conteúdo é o de Cajori (1998).

Ponte e Serrazina (2000) apontam que a aquisição do conceito de grandeza pode ser facilitada se os alunos realizarem muitas atividades que envolvam ordenação e classificação, sendo que tais atividades podem ser desenvolvidas desde a idade pré-escolar, utilizando diferentes materiais (como barras Cuisenaire, fios de barbante, balanças, etc).

As atividades de medição permitem ainda seguir por dois diferentes caminhos: o primeiro sendo o da instrumentação em si, onde os alunos podem manusear instrumentos de medida como réguas, paquímetros, trenas, ou mesmo pedaços de barbante ou o tamanho de seus membros, balanças e gangorras, para fazer medições objetivas, registrar os resultados e realizar comparações; e um segundo caminho subjetivo onde os alunos podem fazer estimativas de dimensões de massa e comprimento utilizando suas próprias percepções.

4. ATIVIDADES PARA SALA DE AULA:

A seguir, são apresentadas as atividades elaboradas pelo grupo, para serem aplicadas em sala de aula com a finalidade de trabalhar o conceito de Medidas de Comprimento e Massa.

Para tais atividades, pensamos sempre em trabalhar o coletivo, trazer essas informações e construir com as crianças novas e diversas concepções de medir, pois assim como sua história particular, que foi totalmente individual e particular em cada espaço e sociedade, na sala de aula, também deve haver essa abertura para os mais diferentes pontos de vista e percepções sobre as medidas, e o professor deve estar preparado para isso. Carlina Rinaldi, em um encontro com Roberta em 20 de Abril de 1990 disse algo muito interessante sobre essa perspectiva:

“Se os adultos pensaram em 1.000 hipóteses, então é mais fácil aceitar que pode haver 1.002 ou 2.000 hipóteses. O desconhecido é mais fácil de aceitar e os adultos são mais abertos a novas idéias quando eles próprios geraram muitas potencialidades. O problema vem de se ter apenas uma hipótese que então chama toda a atenção do adulto.” (EDWADS, p.218).

Outro ponto de destaque para o qual chamamos atenção é para a organização de propostas que facilitem o diálogo e que sejam pensadas para realizar tarefas em grupos de discussão, para que a construção e ressignificação do conhecimento sejam mais ricas, não tendo apenas o ponto de vista individual e sim do coletivo, formado por diversas opiniões que podem auxiliar o desenvolvimento individual, onde haverá uma troca muito grande entre todos os envolvidos. Destacado neste momento o papel do professor que deve ser de mediador, onde dialogue com as crianças sem interferir nos momentos individuas, ou dos grupos, apenas quando recorrida, e nesses momentos deveria proporcionar questionamentos que auxiliem a construção do pensamento deles, sem entregar respostas prontas. Fátima Guimarães (1995), por exemplo, evidencia tais momentos em seu trabalho, quando relata experiências da professora Elisa.

a. Atividade 1: Introduzindo o conceito de unidade de medida de comprimento.

Atividade planejada para alunos do 3º ano do Ensino Fundamental

Objetivos: Introduzir a ideia de unidade de medida de comprimento; criar a necessidade de padronizar uma unidade de medida; compreender que as unidades de medida são convencionadas de acordo com as necessidades da sociedade que a criou.

Nessa atividade, os alunos devem ser divididos em grupos de duas ou três pessoas para cumprir as seguintes etapas:

• Primeira etapa:

Cada grupo deve medir os lados de uma mesa utilizando uma unidade de medida criada por eles, por exemplo, pode-se utilizar o tamanho das mãos, de um lápis, uma polegada, etc. Depois de medir e anotar as medidas da mesa, os grupos devem comparar suas medidas. Dado que o tamanho da mesa não varia, deve-se levantar a seguinte questão para os alunos: “Por que tivemos medidas diferentes para um objeto de mesmo tamanho?” Cabe ao professor orientar os alunos para compreenderem que o objeto ou parte do corpo que usaram para medir é uma unidade de medida e que para se obter uma medida igual por todos os grupos, todos devem utilizar a mesma unidade.

• Segunda etapa:

A turma deve escolher, dentre as unidades de medida utilizadas na etapa anterior, uma unidade padrão para garantir que todos tenham o mesmo resultado na medida da mesa. O próximo problema a ser resolvido pela turma é como garantir que todos terão exatamente a mesma unidade, pois se a unidade escolhida foi a mão de um colega, deve-se garantir que todas as medidas sejam feitas com esse padrão e não com a mão de outros alunos que podem ser de tamanhos diferentes. Uma solução possível para esse problema é cortar pedaços de barbante do tamanho da unidade escolhida e distribuí-los aos grupos. Cria-se então uma unidade me medida padronizada para a turma. Agora os grupos devem medir a mesma mesa uma segunda vez, utilizando a unidade padrão criada e depois comparar suas medidas.

• Terceira etapa:

Agora que a turma foi apresentada ao conceito de unidade de medida de comprimento, o professor deve apresentá-los à unidade centímetro e explicar que seu surgimento deu-se de uma necessidade de ter uma medida padrão para o mundo todo. Nesta etapa, os grupos devem utilizar réguas para saber quantos centímetros tem a unidade de medida criada pela turma e tentar prever quantos centímetros tem a mesa, utilizando soma ou multiplicação. Finalmente, os alunos devem medir a mesa em centímetros e conferir se acertaram em suas previsões.

b. Atividade 2: Medidas de distância - história do Verdim (adaptado de SERRÃO et al., 2012).

Objetivos: Fazer com que os alunos percebam o conhecimento matemático como uma produção humana, estabelecer relações entre as significações aritméticas, algébricas e geométricas dos conceitos matemáticos, discutir a importância de uma padronização do sistema de medidas.

A atividade, proposta por Serrão et al. (2012), se divide em dois momentos. No primeiro momento, a história de Verdim e seus amigos é contada:

“Verdim e seus amigos

Era uma vez Verdim, um ser encantado que vivia em uma floresta de outro mundo. Verdim tinha muitos amigos e juntos brincavam todos os dias na clareira dessa floresta. Quase todos viviam próximos à casa de Verdim, menos três deles: o Gigante chamado Tililim e outros dois anões, o Edim e o Enim. Certo dia Verdim convidou a todos para brincarem em sua casa.

Como o Tililim, Edim e Enim moravam muito longe, Verdim explicou como chegar até sua casa. Assim: saindo da clareira, do lado que o sol se põe deveriam dar cinquenta passos para frente, depois trinta passos à direita e mais quarenta passos até a grande árvore e, então, continuariam em frente e sua casa estaria a apenas dez passos dali.

Com a explicação de Verdim, os três amigos anotaram todas as orientações para não esquecerem nada.

No dia seguinte, logo pela manhã, seguiram na direção correta. Mas, apesar disso, não conseguiram chegar à casa de Verdim.

O que pode ter acontecido? Por que eles não chegaram? Como podemos ajudar Verdim a saber o que aconteceu para buscar outro modo de explicar como chegar até sua casa?”

Após a exposição da história de Verdim, situações problemas são colocadas para os alunos, para que ocorra uma reflexão sobre os elementos da história. As situações problema, como colocadas por Serrão et al. (2012), seguem.

Situação Problema 1: Gabriel, uma criança que ouviu essa história contada por sua mãe, gostou tanto que quis contá-la para seu primo. Mas como ele não tinha as figuras do Verdim, Tililim, Edim e Enim, resolveu usar algumas tiras de papel que sua mãe havia guardado. Como você acha que ele fez para mostrar o comprimento do passo dos personagens com essas tiras?

Situação Problema 2: Gabriel, uma criança que ouviu essa história contada por sua mãe, gostou tanto que quis contá-la para seu primo. Mas como ele não tinha as figuras do Verdim, Tililim, Edim e Enim, resolveu usar alguns pedaços de barbante, que sua mãe havia guardado. Como você acha que ele fez para mostrar o comprimento do passo dos personagens com esse material?

Situação Problema 3: Gabriel, uma criança que ouviu essa história contada por sua mãe, gostou tanto que quis contá-la para seu primo. Mas como ele não tinha as figuras do Verdim,Tililim, Edim e Enim, resolveu usar uma folha de papel e lápis. Como você acha que ele fez para mostrar o comprimento do passo dos personagens com esse material?

Situação Problema 4: Gabriel, uma criança que ouviu essa história contada por sua mãe, gostou tanto que quis contá-la para seu primo. Mas como ele não tinha as figuras do Verdim,Tililim, Edim e Enim, resolveu usar uma folha de papel, caneta e régua. Como você acha que ele fez para mostrar comprimento do passo dos personagens com esse material?

Após a exposição e discussão das situações problema, uma discussão é conduzida junto aos alunos sobre o significado dos materiais desenvolvidos pelos alunos. Uma última situação, então, é abordada: como essa ideia do Gabriel pode ajudar o Verdim a explicar de outro modo como chegar até sua casa para que qualquer pessoa possa visitá-lo?

c. Atividade 3: Atividade da régua e da balança falsas.

Objetivos: O objetivo dessa atividade é trabalhar com os alunos o conceito de medidas, o seu significado e aplicação, e a importância de padronização confiável de um sistema de medidas

Essa atividade é composta de quatro etapas: mapeamento, discussão da necessidade humana pela medida, apresentação da história da medida, e uma discussão sobre a confiança da medida, uma construção humana.

A etapa de mapeamento visa conhecer os alunos e identificar o contato deles com a medição no cotidiano; entender a concepções deles com esse conceito e como o utilizam, as experiências e diversas outras abordagem do dia a dia que os fazem entrar em contato direto com o conhecimento de medir. Ou seja, realizar estudos, observações e coletar informações suficientes para que seja bem elaborada essa articulação entre a matemática encontrada por eles nos livros e as encontradas no cotidiano.

A segunda etapa foi pensada para mostrar a necessidade humana pela medida. Inicia com a retomada do mapeamento levantado anteriormente, junto com exercícios, escritos, tendo como base os exemplos que as crianças trouxeram para desenvolver a lógica e o raciocínio matemático. Nessa etapa, pode-se realizar uma dinâmica que dividiria a sala em pequenos grupos e entregaria para cada panelinha, objetos iguais. Seria então pedido para que cada grupo apresentasse as medidas dos objetos, sem utilizar qualquer objeto criado com o intuito de medir. Desta forma, sairão os mais variados resultados de medida, desde quantidade de polegares, até pedaços de borracha. Os alunos iriam então socializar as medidas definidas com toda a sala, e perceberiam o quão difícil é utilizar medidas diversas, onde para os mesmos objetos, terão as mais variáveis unidades de medida e o quanto isso dificulta a comunicação e o entendimento, fazendo-se necessária uma unidade de medida que unifique e uniformize as formas de obter informação sobre um objeto.

Nesta etapa, já entregaríamos aos alunos a responsabilidade de percepção e atenção sobre o mundo que nos cerca, propondo a eles uma atividade para casa. Propondo para as crianças que anotem qualquer observação que tiverem fora da escola de como, onde e quando acontece a medição, ou seja, coletar observações dos alunos sobre a percepção da matemática no dia a dia das pessoas. Podendo facilitar essa troca entre o individuo, o que ele percebe em sua vida; e o coletivo, o que ocorre com a sociedade e suas formas de trabalhar com a matemática.

A terceira etapa seria responsável por mostrar aos alunos o percurso que a medida teve no mundo, traçando sua trajetória, trazendo exemplos de como os povos e as sociedades, mesmo as mais antigas, utilizavam métodos, desde os mais básicos, até os mais complexos para medir. Trazer histórias, fotos e informações que demonstrem o quanto o homem, em seu desenvolvimento, foi aprimorando suas técnicas e saberes, que antes visavam à sobrevivência e hoje, com as necessidades básicas já supridas, busca cultivar o ócio (MOURA, 2011).

Por fim, para encerrar esta terceira etapa, trazer exemplos citados nesta trajetória histórica, trazer objetos diversos, que em uma determinada cultura, período e contexto foram utilizados, para que as crianças pudessem ter essa experiência na escola, medindo os espaços físicos, os objetos, as pessoas e o que quisessem como outros povos já fizeram. Por exemplo: trazer flautas e mostrar para as crianças que na China faziam isso para medir território, e propor para eles que meçam a quadra, o refeitório, os banheiros; e junto com esse, diversos outros exemplos, como o uso das estátuas, etc. Sempre dialogando com as crianças de como isso é uma releitura e uma apropriação da cultura alheia, jamais estariam reproduzindo da mesma forma, mas sim de maneira adaptada, para construírem uma noção semelhante do que de fato foi realizado.

A quarta etapa encerraria a sequência didática, mostrando o quanto confiamos hoje nas medidas como uma verdade absoluta, mostrando que é uma construção humana, desenvolvida a partir de necessidades que já foram apresentadas nas etapas anteriores, e o quanto, hoje, parece que a vida humana necessita destas informações de medidas e controlam suas vidas por através delas. Uma forma de iniciar essa discussão seria com o trabalho sobre a lenda “O canhão do meio-dia”, apresentado no início deste trabalho.

Por fim, seria proposta uma dinâmica da régua “falsa”. Disponibilizaríamos para cada grupo objetos diversos, tanto na questão da origem, época, material, cultura, etc; e junto entregaríamos uma régua que marcasse 30 cm, mas que na verdade, fosse uma medida falsa, podendo ser mais do que 30 cm; e uma balança “descalibrada”. Pediríamos então que os alunos respondessem um papel com diversas perguntas em relação aos aspectos dos objetos como: idade aproximada, tamanho, cultura, materiais utilizados, etc; além de o quanto estavam seguros de suas respostas. Depois de cada pergunta, teria uma fileira com 10 quadradinhos e teriam que pintar nessa escala o quanto confiavam em cada resposta. Verifica-se que nas informações que estejam relacionadas ao tamanho e massa, os alunos provavelmente irão marcar um maior número de quadradinhos, pois confiam nas medidas que foram dadas a partir de objetos construídos com o intuito de medir: régua e balança, diferente das demais informações que o nível de probabilidade de acertarem era “menor”. A atividade seria encerrada com uma discussão sobre a importância em se ter um padrão confiável de medidas para balizar as relações humanas.

d. Atividade 4: Gangorra X Balança, para comparar pesos.

Objetivo: Mostrar para os alunos que existem diferenças entre as massas. Mesmo que dois objetos pareçam ter o mesmo tamanho, quando medimos suas massas, pode haver diferenças de massa. Mostraremos isso através da gangorra e da balança.

A primeira fase do trabalho é a ida da turma para o parque do colégio, que deve ter uma gangorra (caso não tenha possibilidade de usar a gangorra, o professor pode apresentar a situação verbalmente). O professor apresenta a atividade, dizendo que eles irão comparar as massas entre os alunos. Dois alunos são escolhidos e hipóteses são levantadas sobre o que ocorrerá. A atividade pode ser repetida diversas vezes, e com pessoas com diferentes massas. Pode, ainda, colocar mais de uma pessoa de um mesmo lado da gangorra, ou objetos.

Depois de realizada a primeira etapa todos retornam para as salas e anotam suas conclusões. O segundo momento é realizado na sala com balanças antigas, como aquelas que os ourives usam. Serão comparados objetos menores e deve-se realizar os mesmos tipos de observações que foram realizadas na primeira etapa.

O último momento é a comparação de todas as informações e levantamento das conclusões.

e. Atividade 5: Medida do corredor com vendas.

Objetivo: o intuito dessa atividade consiste em produzir uma noção de extensão, que parte de uma extremidade a outra de um corredor, medindo, a partir do uso do corpo das crianças, a distância entre esses dois pontos.

Desenvolvimento da atividade: as crianças serão levadas a um ambiente da escola que haja um corredor, ou se não houver, um lugar propício para que a medição seja realizada. Chegando no local, os olhos delas vão ser vendados, impossibilitando que enxerguem o que farão posteriormente. Sem saber o que sucederá, a atividade será explanada pelo professor, que explicará que por meio do corpo, as crianças usarão alguma parte (pernas, pés, palma da mão, entre outros) para determinar a medida do espaço em que se encontram.

Esse exercício é necessário para que os alunos percebam as diferentes formas de atribuir um valor a certa coisa/lugar, mostrando a variedade de opções que temos para isso.

f. Atividade 6: Jogo da memória das medidas

Objetivo: Essa atividade tem como objetivo fazer com que as crianças relacionem as unidades de medida de comprimento e massa às situações propostas, escolhendo como par a unidade que se adequa melhor ao contexto.

Desenvolvimento da atividade: As crianças receberão um jogo que terá cartas ilustradas e cartas escritas. Nas cartas ilustradas estarão desenhos de situações do cotidiano onde precisamos usar unidades de medida e massa. Nas cartas esritas, estarão as abreviações e os nomes das unidades. Cada ilustração terá o seu par, que será a carta escrita cuja unidade de medida se adequa melhor à situação ilustrada. Exemplos podem ser vistos na figura 06.

Figura 06: Exemplos de imagens para a atividade. Fonte das imagens:

<http://bruceveloso.zip.net/images/pesar2.jpg>;

< http://www.cliparthut.com/clip-arts/235/ >;

< http://www.fotosearch.com/FSD059/x21966225/ > ;

< http://help-me.pp.ua/22149-yak-koristuvatisya-lnykoyu.html >

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS:

Conforme explicitado por nosso trabalho, o conceito de medir está intrinsecamente ligado com o próprio desenvolvimento da sociedade, sendo inteiramente dependente da forma como o homem se relaciona socialmente, e como observa, analisa e interpreta a própria realidade que o cerca.

Nós consideramos que apresentar para o aluno essa ligação do conceito de medir com o desenvolvimento da sociedade historicamente, a importância em se adotar medidas cada vez mais confiáveis, e evidenciar que tudo passa por uma construção social, da qual o próprio aluno faz parte, é uma forma positiva de se trabalhar com essa unidade didática. Como destacado por Moura (2011), é importante tentar introduzir a matemática e seus conteúdos como instrumento de socialização do sujeito, para dar à matemática sentido. O aluno deve entender que o desenvolvimento da matemática acompanhou o desenvolvimento da sociedade, e que este desenvolvimento continua dentro de sua realidade. Moura coloca que conhecimentos básicos matemáticos como medir e contar são mais do que técnicas desenvolvidas para resolver problemas materiais. São sínteses do pensamento humano. Indo além, o conteúdo matemático, ao ser apropriado pelo sujeito, lhe dá uma metodologia para acessar novos conteúdos. Dar significado ao aprendizado de matemática é dar sentido à própria educação escolar.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BENDICK, Jeanne. Pesos e medidas. Belo Horizonte: Fundo de Cultura. 1965.

BERGER, P; BERGER, B. O que é uma instituição social? In.: FORACCHI, M.; MARTINS, J de S. Sociologia e sociedade: leituras de introdução à sociologia. Rio de Janeiro: LTC, 2004. pp. 163 – 168.

CAJORI, Florian. A history of mathematical notations, New York: Dover, 1998.

CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática, Lisboa. 1975.

CREASE, Robert P. A medida do mundo – A busca por um sistema único de peso e medidas. Rio de Janeiro: Zahar. 2013.

DIXON-ROMÁN, Ezekiel J., & GERGEN, Kenneth J. Epistemology and Measurement: Paradigms and Practices I. A Critical Perspective on the Sciences of Measurement. The Gordon Commission on the Future of Assessment in Education. 2012. Disponível em < http://www.gordoncommission.org/rsc/pdf/dixonroman_gergen_epistemology_measurement_paradigms_practices_1.pdf>. Acesso em: 01 out 2015.

EDWARDS, Carolyn. The Hundred Languages of Children: Reggio Emilia Approach - Advanced Reflections. Ablex Publishing Corporation; 2nd edition, 1998.

GUIMARÃES, Fátima. Uma aula de Matemática e os saberes subjacentes. Educação e Matemática, n.35, 1995, 10-15.

HIMBERT, M.E. A brief history of measurement. The European Physical Journal Special Topics, n. 172, 2009, 25-35.

INMETRO. Manual do Sistema Internacional de Medidas, 9ª Edição. Rio de Janeiro, 2012.

LANNER DE MOURA, Anna Regina; & LORENZATO, Sergio. O medir de crianças pré-escolares. ZETETIKÉ – CEMPEM – FE/UNICAMP – v.9 , n. 15/16, 2001, 7-41.

MOURA, Manoel Oriosvaldo de. Educar com a Matemática: saber específico e saber pedagógico. Educación y Pedagogía, v. 23, n. 59, 2011, 47-57.

NUNNALLY, Jum C.; & BERNSTEINS, Ira H. Psychometric Theory. New York: Mcgraw-Hill. 1994.

PFANZAG, Johann. A general theory of measurement applications to utility. Naval Research Logistics Quarterly, v. 6, n. 4, 1959, 283-294.

PONTE, J.P.; SERRAZINA, L. Didáctica da Matemática do 1º ciclo. Universidade Aberta, Lisboa, 2000.

SANTOS, Vinício M. Cap. 2 – Indo além das crenças e mitos sobre ensinar e aprender matemática: a emergência de orientações inovadoras. 2008.

SERRÃO, M. I.B.; DAMAZIO, A.; SAMPAIO, E.A.; ASBAHR, F.S.F.; ROSA, J.E.; MOURA, M.O. Relações entre educação infantil e conhecimento matemático. XVI Encontro Nacional de Didática e Práticas de Ensino, UNICAMP, Campinas, 2012.

STEVENS, S.S. On the Theory of Scales of Measurement. Science, New Series, v.103, n. 2684, 1946, 677-680.

VISWANATHAN, Madhu. Measurement Error and Research Design. New York: Sage Publications. 2005.