Consistência & inconsistência e o sistema ι da lógica modal
Tendo-se em vista, a lógica alética, a necessidade de algo implica em sua existência. Se é necessário alfa, então é necessário beta
□ α →α (T)
(□ α →□ β).
Assim sendo, necessidade implica existência, como exemplo, a redução à causa primeira de Aristóteles. Tendo em conta, o axioma B do sistema B da lógica modal,
α →□ ◊ α.
Se α existe _ é verdade _, então é necessário que α seja possível. Sendo α possível logicamente, ele é 'concebível' formalmente, isto é, é gerado via imaginação, assim sendo, sua existência é, a priori, formal. Sendo formal, α existir é apenas uma questão de escolha, pois a afirmativa α existe e a sua negação são equivalentes, na medida em que concebem um objeto hipotético no universo de discurso. Então, em um mundo possível após conceber α, ele existe e é verdadeiro ou verdade e em outro ele não existe e é falso (ao menos efetivamente), está apenas limitada a realidade formal, pois ao negarmos a necessidade da possibilidade de α, temos a possibilidade da não possibilidade de α. Portanto, o que determina a necessidade da possibilidade, por conseguinte, a sua existência, é se este objeto hipotético existe efetivamente, ou seja, tal qual concebemos ou se é necessário que ele exista efetivamente, como o 'algo maior que nada maior pode ser pensado' de S. Anselmo. Por outra, dizer que algo é possível é equivalente a dizer que algo seja logicamente provável de existir, ou melhor, ser verdadeiro. Pois, o seu valor de verdade ao ser possível é apenas verdade, a sua falsidade se limita ao campo da realidade efetiva, ou a falsidade de que seja necessário sua existência, ou a não correspondência entre a (s) sua (s) afirmativa ou negativa e o referente, digo, em termos de predicação (s), podendo aqui ser uma sentença ou proposição. O valor de verdade de alfa ao ser possível é apenas verdade, a priori, isto é, enquanto objeto formal, pois ao ser concebido é efetivada a sua validade lógica e a sua existência enquanto ente mental. Assim, ao ser possível alfa, não é possível que ele não seja possível, logo, não é possível a não possibilidade de alfa, temos
(◊ α →¬ ◊ (¬ ◊ α) ) →¬ (◊ ¬ ◊ α) (1)
Lê-se, se alfa é possível, então não é possível que alfa não seja possível, então não é possível que não seja possível alfa. E aqui temos a prova do axioma B. Contudo, convém observar que só teremos a última fórmula bem formada se todo a fbf do parêntesis anterior for obedecida, senão, não segue-se uma coisa da outra. O que subjaz a fórmula anterior é o princípio da não contradição, como visto anteriormente, o da identidade, pois ao conceber A, não A deixa de o ser. Assim sendo, ao delimitar em uma conceituação um objeto o defino e ao definir atribuo-lhe uma identidade. Ao tratarmos de objetos não ortodoxos esse princípio não é válido, como a onda-partícula na física moderna ao investigar a natureza da luz. A sua natureza ondulatória é antagônica a sua natureza corpuscular e a recíproca é válida. E mesmo assim, essas características contraditórias coexistem em uma estrutura de conceituação, onde é delimitado/definido sua identidade. Sendo assim, em termos heterodoxos teremos,
(◊ α →¬ ◊ (¬ ◊ α) & (◊ ¬ ◊ α)) →¬ (◊ ¬ ◊ α) & ¬ (¬(◊ ¬ ◊ α))
Se alfa é possível, então não é possível que alfa não seja possível e é possível que não seja possível alfa, então não é possível que não seja possível alfa e não é não é (sim é) possível que não seja possível alfa. Ou
(◊ α →¬ ◊ (¬ ◊ α & ¬ (¬ ◊ α))) →¬ (◊ ¬ ◊ α & ◊ ¬ ◊ α) (2)
Se alfa é possível, então não é possível que não seja possível alfa (negação da negação) e não é possível que não não (sim) seja possível alfa (negação da negação da negação), então não é possível que não seja possível alfa e não é não é possível que não seja possível alfa (negação da negação). Ou seja, preserva-se o significado, como o esperado. Podemos observar que ¬ ◊ (¬ ◊ α) e ¬ (◊ ¬ ◊ α) são equivalentes, as suas diferenças residem na semântica, podemos observar isso melhor ao interpretar da seguinte forma, não é possível a 'não possibilidade de alfa' e não é 'possível a não possibilidade de alfa'. Portanto, essa relação quase indistinguível entre 'não é possível que alfa não seja possível' (ao ser concebido) e 'não é possível a não possibilidade de alfa', no contexto de que se algo é possível, não pode assim não ser e assim como não pode ser possível que exista tal possibilidade, isto é, de que seja possível que não seja possível alfa ou de que seja possível a sua não possibilidade, que para um sistema consistente é por definição um absurdo, uma contradição, como podemos ver ao provar o axioma B a partir da negação da necessidade da possibilidade (onde é apenas no mundo possível w2 que temos a contradição).
A possibilidade stricto sensu se aplica a todos os mundos possíveis, então em um mundo isso é verdade ou existente, então existe, é verdadeiro, seja essa existência meramente formal ou não. Tomamos o axioma que denomimo de ι (iota) em uma teoria consistente
□ (α →β) → (□ α →□ β) (K)
□ α →α (T)
α →□ ◊ α (B)
◊ α →¬ (◊ ¬ ◊ α) (ι)
E a neguemos
◊ α →¬ (¬(◊ ¬ ◊ α))
◊ α ^ ¬ (¬(◊ ¬ ◊ α))
◊ α
¬ (¬(◊ ¬ ◊ α))
◊ ¬ (¬(◊ ¬ ◊ α))
α
Ou por outra, 'é possível' (operador) que 'não seja possível' (negação) que 'não é possível que não seja possível alfa' (negação da negação), em síntese, é possível que não seja possível que não seja possível alfa, temos alfa. Entretanto, ainda não encontramos uma contradição, então continuemos em w1 (outro mundo possível), onde é possível que não seja possível alfa, segue-se que não é possível alfa e alfa (pois temos alfa), assim dizendo, temos uma contradição.
◊ ¬ ◊ α
¬ ◊ α *
α *
Porém, w0 só será acessível a w1 quando todas as proposições verdadeiras em w0 seja possível em w1 e "é possível que não seja possível que não seja possível alfa", ou seja, é possível que a não 'não possibilidade de alfa' seja verdadeira, haja vista, que o operador de possibilidade é definido como a não possibilidade da negação de si mesmo, isto é,
Def ◊: ◊ α ≡ ¬ □ ¬ α
Acessa "é possível que não seja possível alfa", pois é justamente a contrapositiva do axioma que estamos tentando provar, onde se assumirmos que a primeira é verdadeira, a segunda não pode ser, daí justamente ser um mundo possível. Ou seja, a priori, as duas possibilidades são válidas. Segue-se, então, que não é possível alfa, mas temos alfa, logo, chegamos ao absurdo. Desse modo, a negação do axioma ι não é verdadeiro, consequentemente, ι é verdadeiro. Dessarte, temos
R = {<w0, w1>}
Que w0Rw1 (w0 acessa ou é transitivo a w1). Contudo, ainda a prova não está finalizada, pois a relação R é diádica e em termos clássicos temos _ já que a lógica modal é uma extensão da lógica proposicional _ apenas um indivíduo, sua negação não pode outro ser, já que teríamos que qualquer letra proposicional seria uma fórmula bem formada. Mas se descrermos da definição, teremos que as propriedades opostas a do indivíduo alfa não pode pertencer a ele e, portanto, a outro pertence, mas sendo ainda a negação dele, se trata dele. Sendo assim, temos que o axioma é verdadeiro e falso ao mesmo tempo. Optamos por crer ou não que X e ¬ X é o mesmo indivíduo ou se são indivíduos distintos. Tendo em conta, que hoje não só mais formalmente, mas efetivamente a natureza se apresenta em sua contradição. Eis a minha lógica do nosense, fortemente influenciado pelo ilogismo de Gottlob Frege e pela lógica do nosense de Lewis Carroll.